DIVERSAS FORMAS DE LA ECUACION DE UNA RECTA.

Forma pendiente            intercepto

La ecuación de una recta con pendiente m y donde b es la intersección con el eje de las y; es decir , la ordenada , en el origen es y= mx + b.

Si b= 0, la recta pasa por el origen y su ecuación es y= mx.

Forma general

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

haciendo

se obtiene:

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Forma punto pendiente

La ecuación de una recta con pendiente m y que pasa por el punto M₁(x₁,y₁)es

  y-y₁=m(x-x₁).

Forma segmentaria

La ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y son

 a y b respectivamente, y a no es igual a 0 , b no es igual a 0, es:

                                 

estas son las formas.

Interseccion de una recta

El gráfico de una línea recta no siempre es paralelo a uno de los ejes de coordenadas; si no que intersecan a ambos ejes. El punto donde el gráfico corta al eje Y es un punto donde su coordenada en X es 0. La coordenada Y de este punto se denomina la Y-intercepción de la recta.

si la ecuación de una recta es y = mx + b, entonces la pendiente de la recta es m y la y-intercepcion es b.

Calculando Intersecciones

Podemos usar las características de las intersecciones para calcularlas rápidamente a partir de la ecuación de una recta. Puedes notar que es fácil, cuando encontramos las x- y y-intersecciones para la recta  .

Para encontrar la intersección en y, sustituimos 0 por x en la ecuación, porque sabemos que cada punto en el eje y tiene un valor de 0 en la coordenada x. Una vez hecha la sustitución, podemos resolver la ecuación para encontrar el valor de y. Cuando hacemos x = 0, la ecuación se convierte en , de donde se obtiene y = 2.  Por lo que, cuando x = 0, y = 2. Las coordenadas de la intersección en y son (0, 2).

Ejemplo
Problema	3y + 2x	=	6
	3y + 2(0)	=	6
	3y	=	6
		=
Solución	y	=	2

 Seguiremos ahora los mismos pasos para encontrar la intersección en x. Sea y = 0 en la ecuación, y resolvamos para x. Cuando y = 0, la ecuación se convierte en , de donde se obtiene x = 3. Cuando y = 0, x = 3. Las coordenadas de la intersección en x son (3, 0).

Ejemplo
Problema	3y + 2x	=	6
	3(0) + 2x	=	6
	2x	=	6
		=
Solución	x	=	3

Grafico de la función lineal empleando las intersecciones.

Sabemos que las intersecciones de una recta son útiles. Por ejemplo, nos permiten dibujar fácilmente la gráfica de una recta—sólo tenemos que encontrar las intersecciones en los ejes y trazar una recta que las cruce. Hagámoslo con la ecuación . Encontramos que las intersecciones de la recta de ésta ecuación son (0, 2) y (3, 0). Es todo lo que necesitamos saber:

Y así obtenemos la recta. 

Intersecciones y solución de problemas

Las intersecciones son una herramienta valiosa para seguir o predecir un proceso. En cada intersección, una de las dos cantidades siendo graficadas alcanza el valor de 0. Esto significa que la intersección de una recta puede ser utilizada para marcar el inicio y el fin de un proceso.

Imagina a una estudiante llamada Alex, quien está comprando una laptop que cuesta $1,080 para usarla en la escuela. Alex va a aprovechar el plan de pagos de la tienda para hacer la compra—ella pagará $45 al mes por 24 meses.

Alex quiere saber cuánto le queda debiendo a la tienda después de cada mensualidad. Ella puede representar su deuda haciendo una gráfica. El eje x representa el número de meses y el eje y representa la cantidad de dinero que le falta por pagar. Alex conoce dos puntos en su plan de pago. El día que compra la computadora, ella se encuentra a 0 meses y la deuda es de $1,080. El día que terminará de pagarla será a los 24 meses y la deuda será de $0. Con estos dos puntos, ella puede trazar una recta que va desde la intersección en y en (0, 1080) a la intersección en x en (24, 0).

Alex puede usar ésta gráfica para calcular cuánto dinero le falta por pagar después de cierto número de meses.

Veamos otra situación en la que podemos usar las intersecciones. Ésta vez cuando sólo conocemos una intersección y queremos encontrar la otra. Joe es un salvavidas en la piscina local. Es el final del verano y la piscina está siendo vaciada. Joe tiene que vigilar la piscina hasta que quede completamente vacía para asegurarse que nadie caiga. ¿Cómo le puede hacer el pobre Joe para saber cuánto tiempo va a estar ahí?

Si Joe ha llevado un curso de álgebra, no habrá problema. La piscina contiene 10,200 galones de agua los cuales se vacían a un ritmo de 680 galones por hora. Joe puede usar ésta información para hacer una tabla de cuánta agua quedará en la piscina conforme pasan las horas.

x, Tiempo (horas)	y, Volumen de Agua (galones)
0	10,200
1	9,520
2	8,840
3	8,160
4	7,480

 Una vez que ha calculado algunos puntos, Joe puede usar una gráfica e intersecciones para averiguar cuánto tiempo se necesita para vaciar la piscina. El punto inicial de Joe es la intersección en y, donde la piscina está llena con 10,200 galones de agua y el tiempo transcurrido es 0. Él marca los puntos en la gráfica cuando han pasado 1, 2, 3 y 4 horas.

Ahora todo lo que tiene que hacer Joe es conectar los puntos con una recta y extenderla hasta que cruza el eje x.

Si no lograste comprender aquí te dejo un vídeo mas detallado.

ESPERO TE ALLÁ SERVIDO.

PENDIENTE DE UNA RECTA

Definición

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o una diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre dos puntos de la recta .

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

Si una recta pasa por dos puntos distintos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es :

TENGAMOS EN CUENTA

TIPOS DE LA PENDIENTE

Pendiente	Tipo de recta
positiva	recta ascendente
negativa	recta descendente
cero	recta horizontal
no definida	recta vertical

  

Pendiente positiva

Cuando un punto se mueve de izquierda a derecha sobre una recta que esta subiendo cundo x se incrementa, la pendiente es positiva.

Pendiente negativa

Cuando un punto se mueve de izquierda a derecha sobre una recta que esta descendiendo cuando x se incrementa, la pendiente es negativa.

Pendiente cero (0)

si una recta es paralela al eje de las x, su pendiente es 0.

Pendiente no definida o indefinida

Si una recta es paralela al eje de las y, su pendiente no esta definida.

FUNCIONES LINEALES

FUNCIÒN LINEAL

DEFINICION

Se le denomina FUNCIÒN LINEAL a toda función que pueda ser escrita en la forma:

                  

Donde m y b son números reales, se llama función lineal y su grafico es una línea recta.

También se puede escribir como  .

 Como la función lineal:   

se representa mediante una recta, se la suele identificar con la ecuación de la recta:

De aquí en adelante nos referiremos a la ecuación lineal

 o la ecuación de la recta:

  para referirnos al mismo objeto matemático.

EJEMPLO

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

en esta recta el parámetro m= 1/2 por tanto de pendiente 1/2, es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces yaumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2.

En la ecuación:

la pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de ydisminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.

En una recta el valor de m se corresponde al ángulo  de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

Funciones lineales de varias variables

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas.

Así una función lineal de dos variables de la forma:

representa un plano y una función

aquí un vídeo mas detallado: